高中部分讲解了及其稀少的三角恒等变换，初略翻了一遍教科书，只论证了cos(α β)的等式变换，但实际上有许多恒等的三角变换，它们是在解决代数式替换有利的工具，本文在读者理解cos(α-β)=cosα cosβ sinα sinβ的基础上论证如何得出其它的恒等式。
首先要理解三角函数是怎么定义的，在直角坐标系的圆内一个直角三角形的斜边长为h，θ角对应的边为o，它的临边为a，则有下面的定义：
直角三角形三边形成的比
取一个单位圆，那么有：
单位圆上某点的坐标与角的关系
现在假定你已经有平面向量的基本知识，即矢量的数量积（点积）和矢量投影的概念，就可以很容易证明cos(α-β)=cosα cosβ sinα sinβ。如图：在单位圆中设om，on的向量为u，v，根据向量的点积定义
u.v=（i cosα j sinα）(i cosβ j sinβ)
= cosα cosβ sinα sinβ （1）
又因为根据u.v的物理意义代表力u（假设u是力）在v方向所作的功，只有余弦方向才做功，因此
u.v=iui.ivicos(α-β), 由于iui=ivi=1. （2）
所以（1）=（2），故证明了cos(α-β)=cosα cosβ sinα sinβ （3）
单位圆两个矢量半径
现在我们根据（3）来陆续推导其它三角公式。首先要有一些基本的诱导公式,如下图：.
三角诱导公式
现在用诱导公式和(3)推导cos(α β)的公式
cos(α β)=cos［α (-β)］= cosα cos(-β) sinα sin(-β)= cosα cosβ-sinα sinβ
同理利用诱导公式可推导正弦的差和公式
sin(α β)= cos［(π/2-α)-β］=cos(π/2-α)cosβ sin(π/2-α)sinβ=sinα cosβ cosα sinβ
利用这种方法大家推导其它的两个角的和差恒等变换，这里给出公式：
和积公式
由上式很容易推导出倍角公式：
倍角公式
有时候还会用到由倍角变成单角的三角变换：
单角公式
由上面公式很容易求得半角公式，只要令θ=α/2带入即可：
半角公式
另外还会遇到积化和差的问题,这里给出一个推导过程:
其它自己按上述方法可证如下积化和差的公式：
积化和差
将上式中的α用（α β）/2代替, β用（α-β）/2代替后带入积化和差公式可得和化积差公式：
和化积差
至此我们已经列出了课本中没有列出的三角恒等式，我们利用诱导公式和证明得出的cos(α-β)=cosα cosβ sinα sinβ推导出了一系列公式，它们不需要死记硬背，忘了可以自己推导。
最后为了帮助大家记住cos(α β)=cosα cosβ-sinα sinβ 和sin(α β)=sinα cosβ cosα sinβ，讲个用联想的记忆方法。
说的是小明学习不用心，没有学好三角变换，挨了老师的训，东北话叫挨抠（即抠赛因cosin=cos）心情比较抑郁，一天没吃饭，减掉了很多肉（即cos(α β)展开的中间用减号）。后来老师教他方法怎么推导和记忆，他很快就学会了，他在操场上晒阳光（赛因sin开头），心情非常愉快，当天饭也吃多了，体重也增加了（即sin(α β) 展开的中间用加号）。
原创文章，作者：清风徐来，如若转载，请注明出处：http://www.bnfrf.com/16208.html